Уравнение состояния идеального газа и смысл абсолютной температуры

Шкала Кельвина

В 1848 г. английскому физику Вильяму Томсону (лорд Кельвин) удалось построить так называемую абсолютную температурную шкалу (ее в настоящее время называют термодинамической шкалой температур или шкалой Кельвина), совершенно не зависящую ни от природы термометрического тела, ни от избранного термометрического параметра.

Можно провести следующий эксперимент. Взять сосуды с разными газами. Определить предварительно их объемы, массы и рассчитать число молекул по формуле \(~N = \dfrac {m}{M} \cdot N_A\), затем поместить сосуд в тающий лед. После наступления теплового равновесия определить давление p и рассчитать отношение \(~\dfrac{p \cdot V}{N}\). Опыт показывает, что оно одинаково для всех газов Затем эти сосуды помещают в кипящую воду. Опять это отношение для всех газов определенное, но большее, т.е. оно ~ Т. Введя коэффициент пропорциональности k, можно записать\ Измерения показали, что давление газа в кипящей воде в 1,3661 раза больше, чем в тающем льде. Учитывая это можно по данной формуле определить, что температура таяния льда T0 = 273,15 К.

Предельная температура, при которой давление идеального газа обращается в нуль при фиксированном объеме или объем идеального газа стремится к нулю (т.е. газ как бы должен сжаться в «точку») при неизменном давлении, называется абсолютным нулем.

Это самая низкая температура в природе.

Абсолютная температурная шкала — шкала температур, в которой за начало отсчета принят абсолютный нуль. Температура здесь обозначается буквой T, измеряется в кельвинах (К). За единицу измерения в этой шкале принят один градус Цельсия, т.е. изменение на один кельвин (1 К) равно изменению на один градус Цельсия.

T = (t + 273) К или t = (T – 273) ºС,

где T — абсолютная термодинамическая температура (К); t — температура по шкале Цельсия (ºС).

Более точно T = (t + 273,15) К или t = (T – 273,15) ºС.

Цельсий против Кельвина

Шкалы Цельсия и Кельвина увеличиваются с одинаковым шагом, что означает, что увеличение температуры на 1°C приводит к одинаковому увеличению на 1 K.

Основное различие заключается в том, что при замерзании воды термометр Цельсия будет показывать 0°C, а термометр Кельвина -273,15 K.

Шкалы отличаются на 273,15.

Таким образом, для преобразования из °C в K просто добавьте 273; если термометр читает 31°C, то температура в Кельвине составляет 304K.

Цельсия – гораздо более “удобный” или интуитивно понятный способ измерения: при 0°C—вода замерзает, а при 100°C—вода кипит. Цельсия имеет смысл, и гораздо легче судить, как 25°C может чувствовать себя, чем как 298 K, и, чтобы быть ясным, при 298 K человек будет чувствовать себя хорошо.

Зачем беспокоиться о Кельвине?

Шкала Кельвина оказывается чрезвычайно полезной (и необходимой) при проведении научных расчетов и измерений.

Абсолютный ноль равен 0 К (при преобразовании в Цельсия -273.15°С) и является самой низкой температурой, которую допускают законы физики—никогда не может быть температур ниже 0 К.

Абсолютная температурная шкала. Абсолютный нуль

Выбор в качестве основных точек температурной шкалы точек таяния льда и кипения воды совершенно произволен. Полученная таким образом температурная шкала оказалась неудобной для теоретических исследований.

Опираясь на законы термодинамики, Кельвину удалось построить так называемую абсолютную температурную шкалу (ее в настоящее время называют термодинамической шкалой температур или шкалой Кельвина), совершенно не зависящую ни от природы термометрического тела, ни от избранного термометрического параметра. Однако принцип построения такой шкалы выходит за пределы школьной программы.
Мы рассмотрим этот вопрос, используя другие соображения.

Из формулы (2) вытекают два возможных способа установления температурной шкалы: использование изменения давления определенного количества газа при постоянном объеме или изменение объема при постоянном давлении. Такую шкалу называют идеальной газовой шкалой температуры.

Температура, определяемая равенством (2), называется абсолютной температурой. Абсолютная температура Τ не может быть отрицательной, так как слева в равенстве (2) стоят заведомо положительные величины (точнее, она не может быть разных знаков, она может быть либо положительной, либо отрицательной. Это зависит от выбора знака постоянной k. Так как условились температуру тройной точки считать положительной, то абсолютная температура может быть только положительной). Следовательно, наименьшее возможное значение температуры Т = 0 есть температура, когда давление или объем равны нулю.

Предельная температура, при которой давление идеального газа обращается в нуль при фиксированном объеме или объем идеального газа стремится к нулю (т.е. газ как бы должен сжаться в «точку») при неизменном давлении, называется абсолютным нулем. Это самая низкая температура в природе.

Из равенства (3), учитывая, что \(~\mathcal h W_K \mathcal i = \frac{m_0 \mathcal h \upsilon^2 \mathcal i}{2}\) , вытекает физический смысл абсолютного нуля: абсолютный нуль — температура, при которой должно прекратиться тепловое поступательное движение молекул. Абсолютный нуль недостижим.

В Международной системе единиц (СИ) используют абсолютную термодинамическую шкалу температур. За нулевую температуру по этой шкале принят абсолютный нуль. В качестве второй опорной точки принята температура, при которой находятся в динамическом равновесии вода, лед и насыщенный пар, так называемая тройная точка (по шкале Цельсия температура тройной точки равна 0,01 °С). Каждая единица абсолютной температуры, называемая Кельвином (обозначается 1 К), равна градусу Цельсия.

Погружая колбу газового термометра в тающий лед, а затем в кипящую воду при нормальном атмосферном давлении, обнаружили, что давление газа во втором случае в 1,3661 раза больше, чем в первом. Учитывая это и пользуясь формулой (2), можно определить, что температура таяния льда T = 273,15 К.

Действительно, запишем уравнение (2) для температуры T таяния льда и температуры кипения воды (T + 100):

\(~\frac{p_1V}{N} = kT_0 ;\)
\(~\frac{p_2V}{N} = k(T_0 + 100) .\)

Разделим второе уравнение на первое, получим:

\(~\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_0 + 100}{T_0} .\)

Отсюда

\(~T_0 = \frac{100}{\frac{p_2}{p_1} — 1} = \frac{100}{1,3661 — 1} = 273,15 K.\)

На рисунке 2 схематически показаны шкала Цельсия и термодинамическая шкала.

Рис. 2

Так как 1 К = 1 °С, то любое значение температуры Τ будет на 273,15 градуса выше соответствующей температуры t по Цельсию: Т = t + 273,15. Но изменение абсолютной температуры ΔΤ равно изменению температуры Δt по шкале Цельсия: Δt = ΔΤ.

Газовая температура

Для определения газовой температуры нужно вспомнить важное свойство, которое сообщает о том, что в условиях равновесия средняя кинетическая энергия молекул в смеси газов одинаковая для различных компонентов данной смеси. Из данного свойства следует то, что если 2 газа в различных сосудах находятся в тепловом равновесии, тогда средние кинетические энергии молекул данных газов одинаковые

Это свойство мы и будем использовать. К тому же в ходе экспериментов доказано, что для любых газов (при неограниченном числе), которые находятся в состоянии теплового равновесия, справедливо следующее выражение:

С учетом вышесказанного, используем (1) и (2) и получаем:

Из уравнения (3) следует, что величина θ, которой мы обозначили температуру, вычисляется в Дж, в чем измеряется также и кинетическая энергия. В лабораторных работах температура в системе измерения вычисляется в кельвинах. Поэтому введем коэффициент, который уберет данное противоречие. Он обозначается k, измеряется в ДжК и равняется 1,38·10-23. Данный коэффициент называется постоянной Больцмана. Таким образом:

Определение 1

θ=kT (4), где T – это термодинамическая температура в кельвинах.

Связь термодинамической температуры и средней кинетической энергией теплового движения молекул газа выражается формулой:

E=32kT (5).

Из уравнения (5) видно, что средняя кинетическая энергия теплового движения молекул прямо пропорциональна температуре газа. Температура является абсолютной величиной. Физический смысл температуры заключается в том, что она, с одной стороны, определяется средней кинетической энергией, которая приходится на 1 молекулу. А с другой стороны, температура – это характеристика системы в целом. Таким образом, уравнение (5) показывает связь параметров макромира с параметрами микромира.

Определение 2

Известно, что температура – это мера средней кинетической энергии молекул.

Можно установить температуру системы, а затем рассчитать энергию молекул.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Понятие абсолютного нуля

Абсолютный ноль температуры по сути понимание того, сколько энергии доступно от молекул газа в законе идеального газа.

Степень нагревания должна быть измерена в абсолютном масштабе (как Кельвин), чтобы закон идеального газа имел смысл. Идеальный газ – отсутствуют силы межмолекулярного воздействия. Кроме того, идея абсолютного нуля играет важную роль в физике излучения абсолютно черного тела (сколько энергии излучает объект при определенной температуре) и максимально возможный КПД теплового двигателя (так называемый КПД Карно).

Понятие абсолютный ноль температуры также является частью физики изменения климата.

Средняя температура Земли, которая составляет около 15°C, будет 288 K. Если парниковые газы увеличат температуру планеты на 1%, то она не поднимется на 0,15 градуса, она поднимется на 2,88 градуса. Кельвин и Цельсий имеют одинаковое приращение степени, но Кельвин-абсолютная шкала (что означает, что нулевая точка действительно равна нулю), а Цельсий – относительная шкала (нулевая точка произвольна – она была выбрана ученым). Вот почему температура будет увеличиваться на 2,88 градуса вместо 0,15 градуса

Понимание того, как эти небольшие процентные изменения температуры Земли могут привести к радикальным последствиям для планеты, является важной частью климатологии

Термодинамика показала, что добраться до абсолютного нуля температуры невозможно, но физики подобрались достаточно близко. Используя лазерное охлаждение и магнитную ловушку, экспериментально ученые смогли охладить атомы до температуры нескольких нK (10-9 K), чтобы сформировать конденсаты Бозе-Эйнштейна. В неидеальных условиях самая низкая возможная температура из-за воздействия звезд 2,725 градусов Кельвина,  -270,425 градусов Цельсия.

Температура – это показания термометра, который измеряет, насколько горячее или холодное вещество. На микроскопическом уровне она характеризует среднюю кинетическую энергию молекул внутри материала или системы. Это измеримое физическое свойство объекта и может рассматриваться с другими измеримыми физическими свойствами, такими как скорость, масса и плотность и т.п.

Кельвин, градус Цельсия — единицы измерения температуры в системе СИ

В Международной системе единиц (СИ), единицей термодинамической температуры ($T$) является кельвин (К). Это основная единица данной системы единиц. Один кельвин — это термодинамическая температура равная $\frac{1}{273,16}$ части от температуры тройной точки воды. К недостатками такого определения относят то, что попытки получить температуру в один кельвин связаны с зависимостью от чистоты и изотопного состава воды. Существуют попытки дать определение одного кельвина через величину постоянной Больцмана ($k=1,38\cdot {10}^{-23}\frac{Дж}{К}$). Вероятно в таком случае один кельвин — это будет такое изменение температуры, которое ведет к изменению энергии (на одну степень свободы) равному $kT$=$1,38\cdot {10}^{-23}Дж$.

Единица термодинамической температуры именована в честь английского ученого У. Томсона (лорда Кельвина). Вплоть до 1968 г. единицу термодинамической температуры называли градусом Кельвина. Начало шкалы термодинамической температуры совпадает с абсолютным нулем ($T=0К$).

Кратные и дольные единицы кельвина получают используя стандартные приставки системы СИ, например, кК — килокельвин ($1кК={10}^3К$); пК -пикокельвин ($1пК={10}^{-12}К$) и т.д.

Градус Цельсия (${\rm{}^\circ\!C}$) — это еще одна единица измерения температуры ($t$), которую используют в системе СИ совместно с кельвином. Свое название ${\rm{}^\circ\!C}$ получил в честь шведского ученого А. Цельсия, который создал свою шкалу измерения температуры. На сегодняшний момент градус Цельсия равен кельвину, однако ноль шкалы температур по Цельсию сдвинут относительно шкалы Кельвина:

Температура и нулевое начало термодинамики

Я говорил в самом начале, что гиря и плюшевый медведь, находясь длительное время в комнате будут иметь примерно одинаковую температуру.

В основе этого утверждения лежит фундаментальный постулат или нулевое начало термодинамики, которое фактически дает определение температуры.

В каком бы состоянии не находились тела в изолированной термодинамической системе, со временем эта система придет в состояние теплового (термодинамического) равновесия, и все части этой системы будут иметь одинаковую температуру.

Конечно, комната не совсем изолированная термодинамическая система. Но в физике главное что? Правильно! Умение пренебрегать.

Пока тела имеют разную температуру между ними может происходить теплообмен. Горячие тела будут остывать, холодные нагреваться. Но как только температура тел сравняется, теплообмен между ними прекратится.

По этому поводу Рудольф Клаузиус в 1865 году выдвинул даже гипотезу о тепловой смерти вселенной. Согласно этой гипотезе вселенная рано или поздно должна прийти к термодинамическому равновесию и умереть.

Но вернемся к температуре. Мы разобрались что фактически температура является величиной, характеризующей способность тел или термодинамических систем вступать в тепловое взаимодействие друг с другом. Давайте теперь подумаем, как можно ее измерять, не прибегая к помощи пальца.

Градус Фаренгейта, градус Реомюра, градус Ранкина — единицы измерения температуры

Шкала Фаренгейта и соответственно, такая единица измерения температуры как градус Фаренгейта (${\rm{}^\circ\!F}$) много применялись в англоязычных странах. Сейчас ${\rm{}^\circ\!F}$ используют в быту сравнительно не много стран, например такие как: США, Багамы, Белиз, Палау, Каймановы острова. В Канаде используют и градусы Цельсия и градусы Фаренгейта.

Температура по Цельсию ($t$) и температура по Фаренгейту ($t_F$) соотносятся как:

Так, следуя выражениям (2) температура таяния льда по Фаренгейту при нормальном давлении равна: $t_F=32{\rm{}^\circ\!F}.$

Шкала Реомюра на сегодняшний момент практически не используется. По этой шкале температура плавления льда принята за 0, а точка кипения воды соответствует 80 градусам. Градус Реомюра (${}^\circ R$) соотносится с градусом Цельсия как:

Градус Ранкина (${}^\circ Ra$) используют при инженерных вычислениях в англоязычных странах. Этот градус используется в шкале Ранкина, которая является абсолютной температурной шкалой. Начало шкалы соответствует температуре абсолютного нуля, точка кристаллизации воды $491,67{}^\circ Ra$, .кипении воды происходит при $671,67{}^\circ Ra$. Кельвин и градус Ранкина соотносятся как:

Абсолютный нуль температуры

Предельную температуру, при которой объем идеального газа становится равным нулю, принимают за абсолютный нуль температуры. Однако объем реальных газов при абсолютном нуле температуры обращаться в нуль не может. Имеет ли смысл тогда это предельное значение температуры?

Предельная температура, существование которой вытекает из закона Гей-Люссака, имеет смысл, так как практически можно приблизить свойства реального газа к свойствам идеального. Для этого надо брать все более разреженный газ, так чтобы его плотность стремилась к нулю. У такого газа действительно объем с понижением температуры будет стремиться к предельному, близкому к нулю.

Найдем значение абсолютного нуля по шкале Цельсия. Приравнивая объем V в формуле (3.6.4) нулю и учитывая, что

получим

Отсюда абсолютный нуль температуры равен

t = -273 °С**.

** Более точное значение абсолютного нуля: -273,15 °С.

Новое определение 2019

В 2005 г. CIPM начал программу по пересмотру определения кельвина (вместе с другими единицами СИ) с использованием более экспериментально строгой методологии. В частности, комитет предложил такой, что Постоянная Больцмана принимает точное значение 1.3806505×10−23 Дж / К. Комитет надеялся, что программа будет завершена вовремя для ее принятия CGPM на заседании 2011 года, но на заседании 2011 года решение было отложено до заседания 2014 года, когда оно будет рассматриваться как часть большая программа.

Новое определение было отложено в 2014 году в ожидании более точных измерений постоянной Больцмана с точки зрения текущего определения,но был окончательно принят на 26-й конференции CGPM в конце 2018 года со стоимостью k = 1.380649×10−23 Дж / К.

С научной точки зрения основным преимуществом является то, что это позволит проводить более точные измерения при очень низких и очень высоких температурах, поскольку используемые методы зависят от постоянной Больцмана. У него также есть философское преимущество, заключающееся в независимости от какой-либо конкретной субстанции. Задача заключалась в том, чтобы избежать снижения точности измерений вблизи тройной точки. С практической точки зрения это переопределение останется незамеченным; вода будет замерзать при температуре 273,15 K (0 ° C), и тройная точка воды по-прежнему будет широко используемой лабораторной эталонной температурой.

Разница в том, что до переопределения тройная точка воды была точной, а постоянная Больцмана имела измеренное значение 1.38064903(51)×10−23 Дж / К, с относительной стандартной неопределенностью 3.7×10−7. После этого постоянная Больцмана становится точной, и неопределенность переносится на тройную точку воды, которая теперь 273,1600 (1) К.

Температура — кельвин

Температура Цельсия ( символ t) определяется выражением: t Т — Т0, Т — температура Кельвина, Т0 273 15 К.
 

Допускается применять также градус Цельсия С, по размеру равный Кельвину, для выражения температуры Цельсия tT — Te, где Т — температура Кельвина, 7о273 15 К. Тройная точка воды — состояние, при котором находятся в равновесии все г три ее фазы: лед, жидкая вода и насыщенный пар. Равновесие трех фаз воды достигается лишь при вполне определенной тем — пературе 273 16 К0 01 С, в отличие от равновесия каких-либо двух ее фаз, которое возможно и при разных температурах.
 

Кроме температуры Кельвина, К ( обозначение 7) допускается применение температуры Цельсия, С ( обозначение t), определяемой выражением t — Т-27315 К. Температура Кельвина выражается в кель-винах ( градусах Кельвина), температура Цельсия — в градусах Цельсия. Числовое значение температуры должно сопровождаться значками К и С. По величине кельвин и градус Цельсия равны между собой. Различие состоит лишь в начале отсчета ( см. гл.
 

Переход от значений температуры в шкале Цельсия к значениям в шкале Кельвина рассматривается в гл. В системе СИ при использовании шкалы температур Кельвина знак градуса не указывается.
 

Температура таяния льда при нормальном давлении обозначена 0 С. Как видим, разница между абсолютной шкалой температур Кельвина и шкалой Цельсия только в начале отсчета ( в положении нуля) температуры.
 

Температура Цельсия определяется выражением tT — Тй, где Т — температура Кельвина, Г 273 15 К.
 

Параметры тройной точки воды следующие: давление насыщенного пара — 4 58 мм рт. ст. 0 006 атм, температура О 01 С. Тройная точка воды является реперной точкой при построении абсолютной термодинамической шкалы температур Кельвина.
 

Практически для термометрии нет необходимости осуществлять цикл Карно, в котором экспериментальные ошибки обычно очень велики. Температура, введенная во втором законе термодинамики как интегрирующий делитель, как раз и есть температура Кельвина.
 

В практической термометрии нет необходимости осуществлять циклы Карно, экспериментальные ошибки при проведении которых часто были бы недопустимо велики. Во втором законе термодинамики температура вводится как величина, обратная интегрирующему множителю; можно показать, что температура, определенная таким образом, совпадает с температурой Кельвина.
 

В практической термометрии нет необходимости осуществлять циклы Карно, экспериментальные ошибки при проведении которых часто были бы недопустимо велики. Во втором законе термодинамики температура водится как величина, обратная интегрирующему множителю; можно показать, что температура, определенная таким образом, совпадает с температурой Кельвина.
 

Уравнение ( 12) было получено из термодинамического тождества ( 5) и на основе двух изотермических законов поведения идеального газа, а также эмпирического определения величины моля. Величина Т, входящая в уравнение ( 12), та же что и в термодинамическом тождестве ( 5), и, следовательно, является температурой Кельвина.
 

Однако всякий газ, который строго подчиняется закону Бойля — Мариотта и у которого изменение объема при постоянной температуре не меняет внутренней энергии и, подчиняется закону pv kT, где Т представляет температуру Кельвина. Такой газ, называемый идеальным газом, будучи использован в газовом термометре постоянного давления или постоянного объема, непосредственно воспроизводит шкалу Кельвина.
 

Кроме температуры Кельвина ( обозначение Т) допускается применять также температуру Цельсия ( обозначение t), определяемую выражением t T — Т, где Г 273 15К по определению. По размеру градус Цельсия равен кельвину. Разность температур Кельвина выражается в Кельвинах. Разность температур Цельсия допускается выражать как в Кельвинах, так и в градусах Цельсия.
 

Кроме температуры Кельвина ( обозначение Т) допускается применять также температуру Цельсия ( обозначение t), определяемую выражением t T — Tn, где Т0 273 15К по определению. По размеру градус Цельсия равен кельвину. Разность температур Кельвина выражается в Кельвинах. Разность температур Цельсия допускается выражать как в Кельвинах, так и в градусах Цельсия.
 

По размеру градус Цельсия равен кельвину. Интервал или разность температур Кельвина выражают в Кельвинах. Интервал или разность температур Цельсия допускается выражать как в Кельвинах, так и в градусах Цельсия.
 

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Чему станет равна постоянная Больцмана, если за единицу температуры по шкале Кельвина принимать не 1К, а 5 К?

Решение. По условию задачи единица температуры в системе СИ стала больше в пять раз, это означает, что если обозначить температуру по общепринятой шкале как $T$, но по нашей новой шкале ($T_N$) она станет равна:

\

По закону о равномерном распределении энергии по степеням свободы ($i$ — число степеней свободы молекулы) мы имеем:

\

$k=1,38•{10}^{-23}\frac{Дж}{К}$- постоянная Больцмана.

Средняя кинетическая энергия молекул измеряется в Дж и не зависит от масштаба единиц температуры, это означает, что:

\

Вычислим нашу новую «постоянную Больцмана»:

\

Ответ. $k_N=6,9\cdot {10}^{-23}\frac{Дж}{К}$

Пример 2

Задание. Идеальный газ, показателем адиабаты $\gamma =1,4$ сжали, как показано на рис.1. Первоначальная температура газа составляла $T_1=290\ K$. Какой стала температура газа после сжатия? Выразите температуру газа в градусах Цельсия.

Решение. На рис.1 изображен адиабатный процесс, так как указано, что он происходит без теплообмена ($\delta Q=0$). Для решения нашей задачи удобнее использовать уравнение адиабатного процесса в параметрах $p,T$:

\

Из уравнения (2.1) выразим конечную температуру:

\

Вычислим температуру:

\

Выразим температуру в градусах Цельсия:

\

Ответ. $t=287{\rm{}^\circ\!C}$

Температура с термодинамической точки зрения

Введем функцию

, которая не зависит от свойств вещества. Из термодинамики следует, что если какая-то тепловая машина, поглощая количество теплоты

при

выделяет тепло

при

, выделяет то же самое тепло

при температуре в один градус, то машина, поглощающая

при

должна при температуре

выделять тепло

. Конечно, между теплом

и температурой

существует зависимость и тепло

должно быть пропорционально

. Таким образом, каждому количеству тепла

, выделенного при температуре в один градус, соответствует количество тепла, поглощённого машиной при температуре

, равное

, умноженному на некоторую возрастающую функцию

температуры:

Поскольку найденная функция возрастает с температурой, то можно считать, что она сама по себе измеряет температуру, начиная со стандартной температуры в один градус. Это означает, что можно найти температуру тела, определив количество тепла, которое поглощается тепловой машиной, работающей в интервале между температурой тела и температурой в один градус. Полученная таким образом температура называется абсолютной термодинамической температурой и не зависит от свойств вещества. Таким образом, для обратимой тепловой машины выполняется равенство:

где

— энтропия:

Для системы, в которой энтропия

может быть функцией

её энергии

, термодинамическая температура определяется как:

Температура и излучение

При повышении температуры растёт энергия, излучаемая нагретым телом. Энергия излучения абсолютно чёрного тела описывается законом Стефана — Больцмана

Шкала Реомюра

Единица — градус Реомюра (°R), 1 °R равен 1/80 части температурного интервала между опорными точками — температурой таяния льда (0 °R) и кипения воды (80 °R)

1 °R = 1,25° C.